24 · La distribución t y los t-tests
Cuando σ es desconocida — casi siempre — la distribución t contempla la incertidumbre extra de estimar σ con los datos. Colas más pesadas que se vuelven Normal al crecer n.
Cuando σ es DESCONOCIDA — que es casi siempre — usa la distribución t: colas más pesadas para muestras pequeñas, idéntica a la Normal conforme n crece.
Sin esto:
Sin ella, rechazarías H₀ con exceso de confianza en muestras pequeñas y varianza desconocida.
Piensa en el t-test como el primo maduro del Z-test — maneja el caso donde σ es desconocida, que en la práctica es casi siempre.
¿Por qué una distribución diferente?
Cuando estimas σ de los datos usando la desviación estándar muestral s, introduces incertidumbre extra — especialmente para n pequeña. William Gosset (publicando como "Student" en 1908) demostró que la distribución nula correcta para el estadístico
t = (x̄ − μ₀) / (s / √n)
es la distribución t con ν = n − 1 grados de libertad, no la Normal Estándar.
Propiedades clave de la distribución t:
- Simétrica alrededor de 0, como N(0,1), pero con colas más pesadas para ν pequeño.
- Cuando ν → ∞, t(ν) → N(0, 1) exactamente. Para ν ≥ 30 la diferencia ya es mínima.
- Las colas más pesadas reflejan la incertidumbre extra de estimar σ — más masa de probabilidad en las colas significa valores críticos más grandes, haciendo que sea más difícil rechazar H₀ (lo cual es correcto — tienes menos información).
Tres variantes de t-test:
| Prueba | función scipy | Úsala cuando |
|--------|--------------|--------------|
| Una muestra | ttest_1samp(sample, popmean) | ¿Es x̄ significativamente diferente de μ₀? |
| Dos muestras independientes (Welch) | ttest_ind(a, b, equal_var=False) | ¿Son diferentes dos grupos independientes? Las σ pueden diferir. |
| Pareado | ttest_rel(antes, despues) | Los mismos sujetos medidos dos veces — mucho más potente cuando el pareado es real. |
Python (in browser)
La distribución t tiene colas más pesadas que la Normal para df pequeño — reflejando la incertidumbre extra de estimar σ. Conforme df crece, converge exactamente a N(0,1). Los valores críticos lo muestran: t(df=2) necesita ±4.30 para rechazar con α=0.05, mientras que la Normal solo necesita ±1.96.
Python runs entirely in your browser via Pyodide (~6 MB on first Run, cached after).
Python (in browser)
T-test de una muestra con los mismos datos de CI de la lección del Z-test. El t-test da un p-value ligeramente mayor porque la distribución t es más conservadora — apropiado cuando σ se estima, no se conoce.
Python runs entirely in your browser via Pyodide (~6 MB on first Run, cached after).
Python (in browser)
T-test de Welch para dos grupos independientes. Usar equal_var=False es el valor predeterminado seguro — ajusta los grados de libertad cuando las varianzas de los grupos difieren, lo cual es prácticamente siempre el caso en datos reales.
Python runs entirely in your browser via Pyodide (~6 MB on first Run, cached after).
Python (in browser)
T-test pareado vs t-test independiente en los mismos datos. El test pareado es mucho más potente porque calcula la diferencia dentro de cada sujeto, eliminando la variabilidad entre personas. El test independiente desperdicia esa información y puede fallar en detectar un efecto real.
Python runs entirely in your browser via Pyodide (~6 MB on first Run, cached after).
Diagrama de decisión Z vs t, y cuándo pasar a pruebas no paramétricas.
Tienes mediciones 'antes' y 'después' de las MISMAS 30 personas que tomaron un curso. ¿Qué prueba debes usar?
- **Estadístico t:** t = (x̄ − μ₀) / (s/√n). Sigue t(ν=n−1) cuando σ es desconocida. Colas más pesadas que la Normal para n pequeña.
- Tres funciones de scipy: ttest_1samp (una muestra), ttest_ind con equal_var=False (Welch de dos muestras), ttest_rel (pareado).
- **Pareado > independiente** siempre que los mismos sujetos se midan dos veces — el pareado elimina la varianza entre sujetos y aumenta la potencia drásticamente.
Comparar la exactitud de dos modelos en el MISMO conjunto de prueba es un t-test pareado (cada fila da un resultado pareado). Los análisis de A/B tests usan t-tests por defecto porque la varianza verdadera es desconocida.
Si lo quitas: Perderías la potencia del test pareado y sobreestimarías la varianza — ambas llevan a malas decisiones estadísticas.