8 · Regla de la suma y regla del producto
Dos reglas — suma y producto — generan toda probabilidad que calcularás, desde tiradas de dados hasta el teorema de Bayes.
Dos reglas — suma y producto — generan toda probabilidad que jamás calcularás.
Sin esto:
Sin ellas, no puedes combinar evidencia, condicionar en contexto ni escribir una verosimilitud.
La probabilidad descansa en tres axiomas de los que nace todo lo demás:
- No negatividad: P(A) ≥ 0 para cualquier evento A.
- Normalización: P(espacio muestral) = 1 — algo siempre ocurre.
- Aditividad: si A y B son mutuamente excluyentes (A ∩ B = ∅), entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
De estas tres semillas, dos reglas hacen casi todo el trabajo:
Regla de la suma (adición): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
La resta corrige el doble conteo de la intersección. Cuando A y B son mutuamente excluyentes la intersección es vacía (P(A ∩ B) = 0) y la fórmula colapsa al axioma 3.
Regla del producto (multiplicación): P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
Se deduce directamente de la definición de probabilidad condicional: P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A).
Independencia: B es independiente de A si y solo si saber que A ocurrió no dice nada sobre B — formalmente P(B | A) = P(B). Sustituyendo en la regla del producto se obtiene la forma simplificada P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Estas seis líneas son la gramática completa de la probabilidad.
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Con 100 000 tiradas simuladas la probabilidad empírica de suma-7 converge a la teórica 6/36 ≈ 0.1667. La ley de los grandes números en acción.
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La fórmula de la regla de la suma P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) da 11/36. El ingenuo P(A)+P(B) = 12/36 sobrecontabiliza porque el resultado (6,6) pertenece a ambos eventos simultáneamente.
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La probabilidad conjunta empírica P(dado1=6 Y dado2=6) coincide con P(dado1=6) · P(dado2=6) = 1/36 dentro del ruido de muestreo, confirmando la independencia. Cada dado no sabe nada del otro.
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Un árbol de probabilidad de dos pasos codifica la regla del producto en cada rama. Leer las hojas de abajo hacia arriba con la regla de la suma da las probabilidades marginales. El teorema de Bayes (siguiente lección) invierte el árbol.
Se extraen dos cartas SIN reemplazo de un mazo mezclado de 52 cartas. ¿Son independientes los eventos 'primera carta es corazón' (A) y 'segunda carta es corazón' (B)?
Reglas de Suma, Producto y Bayes — el capítulo de MML que deriva formalmente ambas reglas a partir de los axiomas, prueba la regla de la cadena para n eventos y muestra cómo el teorema de Bayes es una consecuencia de una línea de la regla del producto.
- **Regla de la suma**: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). La resta previene el doble conteo de la intersección. Para eventos mutuamente excluyentes la intersección es cero.
- **Regla del producto**: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A). Para eventos **independientes** P(B | A) = P(B), por lo que se simplifica a P(A) · P(B).
- La **probabilidad condicional** P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) es el bloque constructivo de toda inferencia en ML — calcular P(etiqueta | características) es la tarea universal del aprendizaje supervisado.
El teorema de Bayes (siguiente lección) es un reordenamiento algebraico de una línea de la regla del producto. Los clasificadores Naive Bayes asumen que las características son condicionalmente independientes — la regla del producto es el motor.
Si lo quitas: Ni siquiera puedes escribir una verosimilitud P(datos | parámetros), que es el objetivo universal del aprendizaje supervisado.