9 · PMF, PDF y CDF
Las VAs discretas tienen PMF; las continuas tienen PDF (densidad, no probabilidad); ambas tienen CDF. Domina las tres.
Las VAs discretas tienen PMF (probabilidad DE cada valor); las continuas tienen PDF (densidad, no probabilidad); ambas tienen CDF (acumulada).
Sin esto:
Sin estas tres funciones, no puedes calcular P(X ≤ x), dibujar un histograma frente a una distribución ajustada, ni interpretar la salida de un modelo.
Una variable aleatoria (VA) es una función que mapea resultados de un experimento aleatorio a números. Hay dos tipos:
-
VA discreta: toma valores contables (0, 1, 2, …). Se describe mediante una Función de Masa de Probabilidad (PMF): p(x) = P(X = x). Cada valor tiene una masa de probabilidad genuina ≥ 0 y las masas suman 1: Σ p(x) = 1.
-
VA continua: toma valores en un rango continuo (cualquier número real en un intervalo). Se describe mediante una Función de Densidad de Probabilidad (PDF): f(x), donde las probabilidades son áreas, no alturas — P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Crucialmente: f(x) no es una probabilidad. Es una densidad. Puede exceder 1 sin violar nada, pero la integral sobre cualquier intervalo siempre está en [0, 1].
Ambos tipos de VA comparten una descripción universal:
Función de Distribución Acumulada (CDF): F(x) = P(X ≤ x). Siempre es:
- No decreciente: F(a) ≤ F(b) cuando a ≤ b
- Continua por la derecha
- F(x) → 0 cuando x → −∞
- F(x) → 1 cuando x → +∞
La CDF conecta todo: para VAs discretas, F(x) = Σ_{k ≤ x} p(k). Para VAs continuas, F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt, así que f(x) = F'(x).
Python (in browser)
Cada barra en un gráfico de barras de PMF es una probabilidad genuina. Todas las barras suman exactamente 1. Abre /tmp/binom_pmf.png para ver. La Binomial(10, 0.4) tiene su pico en k=4 (el valor esperado n·p = 4).
Python runs entirely in your browser via Pyodide (~6 MB on first Run, cached after).
Python (in browser)
La altura de la curva PDF en x=0 es 0.399, NO es una probabilidad. El área azul bajo la curva entre −1 y +1 SÍ es una probabilidad (≈ 0.683). Abre /tmp/norm_pdf.png. Las probabilidades son siempre áreas, nunca alturas, para distribuciones continuas.
Python runs entirely in your browser via Pyodide (~6 MB on first Run, cached after).
Python (in browser)
Izquierda: la CDF discreta Binomial es una escalera — salta en cada entero. Derecha: la CDF continua Normal es una curva S suave. Ambas empiezan cerca de 0 y terminan en 1. Abre /tmp/cdfs.png para comparar lado a lado.
Python runs entirely in your browser via Pyodide (~6 MB on first Run, cached after).
La CDF es el puente entre PMF/PDF e intervalos de probabilidad. Para discretas: F(k) = Σ p(j); PMF = diferencias. Para continuas: F(x) = ∫ f(t)dt; PDF = derivada. La probabilidad en un intervalo es siempre CDF(b) − CDF(a).
X es una variable aleatoria continua. ¿Cuánto vale P(X = 3.14)?
Probabilidades Discretas y Continuas — el capítulo de MML que define rigurosamente las PMFs y PDFs, introduce el operador de esperanza E[X] y las conecta con la CDF con demostraciones formales.
- **PMF** p(x) = P(X = x): solo para VAs discretas. Cada valor tiene una masa de probabilidad verdadera; todas las masas suman 1.
- **PDF** f(x): solo para VAs continuas. Es una *densidad*, no una probabilidad. P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x)dx = CDF(b) − CDF(a).
- **CDF** F(x) = P(X ≤ x): definida para todas las VAs. No decreciente, de 0 a 1. La herramienta universal para calcular probabilidad sobre cualquier intervalo.
La salida de un modelo de regresión es un parámetro de PDF (media de una gaussiana). El softmax de un clasificador es una PMF sobre clases. El AUC es el área bajo la CDF de verdaderos positivos vs falsos positivos.
Si lo quitas: No puedes interpretar una pérdida como la log-verosimilitud negativa sin saber qué significa 'verosimilitud' en términos de PMF/PDF.