12 · Binomial: conteo de éxitos en n ensayos
Apila n ensayos Bernoulli(p) y pregunta '¿cuántos éxitos?' — la Binomial. La matemática detrás de los A/B tests y los intervalos de confianza de los clasificadores.
Suma n ensayos independientes Bernoulli(p) y obtienes una Binomial(n, p) — el conteo de éxitos.
Sin esto:
Sin ella, no puedes razonar sobre 'X de N usuarios convirtieron' o calcular la probabilidad de que un lote de K predicciones tenga J correctas.
Si lanzas una moneda sesgada n veces y cuentas las caras, el resultado sigue una distribución Binomial(n, p). Es la extensión natural de la Bernoulli de un ensayo a n ensayos.
Configuración: n ensayos independientes, cada uno con P(éxito) = p. X = número de éxitos.
Función de Masa de Probabilidad: P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n−k)
donde C(n, k) = n! / (k! · (n−k)!) es el número de formas de elegir k éxitos de n ensayos.
Media y varianza:
- E[X] = np
- Var(X) = np(1 − p)
Esto tiene sentido: cada uno de los n ensayos Bernoulli contribuye con media p y varianza p(1−p), y como los ensayos son independientes las contribuciones se suman.
La Binomial es la suma de n Bernoullis iid. Si X₁, …, Xn son iid Bernoulli(p), entonces X = X₁ + … + Xn ~ Binomial(n, p). Este es el hecho estructural clave.
Aproximación Normal (anticipo del Teorema Central del Límite): Cuando np > 5 Y n(1−p) > 5, la Binomial se aproxima bien con Normal(np, np(1−p)). A medida que n crece, la suma de VAs independientes (aquí Bernoullis) converge a una Normal — este es el Teorema Central del Límite en acción, que estudiaremos formalmente en el Capítulo 6.
Aproximación de Poisson: Cuando n es grande y p es pequeño, Binomial(n, p) ≈ Poisson(λ = np). La siguiente lección cubre Poisson en profundidad.
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Binomial(20, 0.3) tiene media 6, varianza 4.2. P(X=6) ≈ 0.179 es la moda (valor individual más probable). CDF(6) ≈ 0.608 significa 'en aproximadamente el 61% de los experimentos de 20 ensayos, vemos 6 o menos éxitos.' El gráfico de barras ASCII muestra la forma de la distribución.
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Tres PMFs Binomial(20, p) en una figura. En p=0.5 la distribución es perfectamente simétrica (parece una campana). En p=0.1 está sesgada hacia la derecha; en p=0.9, hacia la izquierda — son imágenes especulares. Abre /tmp/binom_shapes.png para ver.
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10 000 lotes simulados de 20 lanzamientos de moneda. El histograma dorado (frecuencias relativas) se superpone casi perfectamente con las barras azules de la PMF teórica. Media empírica ≈ 10 y varianza ≈ 5. Abre /tmp/binom_sim.png para ver.
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Cuando n es grande y p es pequeño (eventos raros), Binomial(n, p) ≈ Poisson(λ = np). La fórmula de Poisson es más simple (sin término combinatorio) y numéricamente estable incluso para n grandes. La siguiente lección explora Poisson en detalle.
Si X ~ Binomial(100, 0.5), ¿cuánto vale E[X]?
- **PMF**: P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k). **Media** = np, **Var** = np(1−p). La Binomial es la suma de n Bernoullis iid.
- Cuando np > 5 y n(1−p) > 5, Binomial ≈ Normal(np, np(1−p)) — un anticipo del Teorema Central del Límite.
- La significancia de los A/B tests, los intervalos de confianza de la precisión de clasificadores y el análisis de tasas de conversión son todos cálculos Binomiales.
El análisis de conversión en A/B tests usa la Binomial; la precisión a nivel de lote es un problema de incertidumbre basado en la Binomial; los intervalos de confianza sobre la precisión de un clasificador son intervalos Binomiales de Wilson/Clopper-Pearson.
Si lo quitas: No puedes dar un intervalo de confianza para 'este clasificador obtuvo un 92% de precisión en un conjunto de prueba de 500 ejemplos' — ese intervalo es un cálculo Binomial.