13 · Poisson: eventos raros en un intervalo fijo
Poisson(λ) modela el conteo de eventos independientes que llegan a tasa constante en una ventana fija — la distribución de referencia para clics, solicitudes, defectos y mutaciones.
Poisson(λ) modela el conteo de eventos independientes que llegan a tasa constante en una ventana fija.
Sin esto:
Sin ella, no puedes modelar conteos de clics, solicitudes de servidor por segundo, ni ningún problema de 'eventos raros por período'.
La distribución de Poisson responde: "¿Cuántas veces ocurrirá un evento en un intervalo fijo, si los eventos suceden independientemente a una tasa promedio constante λ?"
Función de Masa de Probabilidad: P(X = k) = (λ^k · e^(−λ)) / k! para k = 0, 1, 2, …
El único parámetro λ (lambda) es simultáneamente la tasa (eventos por intervalo), la media y la varianza.
Media y varianza:
- E[X] = λ
- Var(X) = λ
Esta propiedad de media = varianza es el sello de la Poisson — y el primer chequeo diagnóstico al decidir si usarla. Si tus datos de conteo tienen varianza muestral mucho mayor que su media, la Poisson está mal especificada (más sobre esto abajo).
Ejemplos clásicos:
- Correos recibidos por hora (λ = 3)
- Solicitudes HTTP al servidor por segundo (λ = 100)
- Mutaciones por genoma por generación (λ = 2)
- Defectos por metro cuadrado de tela (λ = 0.5)
- Impactos de rayos cósmicos en un detector por minuto (λ = 0.1)
En todos los casos: los eventos son independientes, llegan a tasa aproximadamente constante y no pueden ocurrir simultáneamente.
El proceso de Poisson: El modelo en tiempo continuo subyacente a la distribución de Poisson es el proceso de Poisson — los eventos llegan aleatoriamente, el tiempo de espera entre eventos consecutivos es Exponencial(λ) y el conteo en cualquier intervalo fijo de longitud t es Poisson(λt).
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Poisson(λ=3): media = varianza = 3. P(X=2) ≈ 0.224 (el 22.4% de los intervalos tienen exactamente 2 eventos). CDF(5) ≈ 0.916 significa que el conteo de eventos supera 5 solo alrededor del 8.4% del tiempo — raro pero no despreciable.
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Tres PMFs de Poisson con λ=1, 4, 10. A medida que λ crece: la distribución se expande (desv. estándar = √λ), se desplaza a la derecha y se vuelve progresivamente más simétrica, acercándose a la forma de campana de una Normal(λ, λ). Abre /tmp/poisson.png para ver.
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1000 horas simuladas de llegadas de correos Poisson(λ=3). Tanto la media como la varianza empírica convergen a λ=3 — confirmando la propiedad distintiva de la Poisson. El histograma empírico coincide estrechamente con la PMF teórica.
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Las PMFs de Binomial(1000, 0.003) y Poisson(λ=3) difieren como máximo en ~0.18% para cualquier k. A efectos prácticos son la misma distribución. Se prefiere la Poisson porque no tiene un término combinatorio grande que comprometa la precisión numérica.
Si X ~ Poisson(λ=4), ¿cuánto vale Var(X)?
- **PMF**: P(X=k) = (λ^k · e^(−λ)) / k!. **Media = Varianza = λ** — la propiedad distintiva. Si media empírica ≠ varianza empírica, la Poisson probablemente está equivocada.
- **Poisson = límite de la Binomial** cuando n es grande y p es pequeño (λ = np). Usa Poisson para el conteo de eventos raros — es numéricamente más simple y evita el desbordamiento combinatorio.
- Los datos de conteo reales suelen ser **sobredispersos** (varianza >> media). En ese caso, cambia de Poisson a la distribución Binomial Negativa.
La regresión Poisson modela objetivos de conteo (visitas por día, defectos por pieza). La pérdida de recomendación de YouTube tiene componentes Poisson. La predicción de carga del servidor es fundamentalmente de distribución Poisson.
Si lo quitas: Usarías MSE en objetivos de conteo — verosimilitud incorrecta, mala incertidumbre y subestimación de la cola derecha.