14 · Distribución Normal / Gaussiana
La campana que ocupa el centro de la estadística — dos parámetros (μ, σ), la regla 68-95-99.7 y la forma límite de incontables sumas.
La Normal es la distribución central de la estadística — en forma de campana, dos parámetros (μ, σ) y la forma límite de incontables sumas (TCL).
Sin esto:
Sin ella, no puedes hablar el lenguaje de las barras de error, los intervalos de confianza, los residuos de regresión ni el 99% de la inferencia frecuentista.
La distribución Normal (también llamada Gaussiana) es la distribución continua más importante en estadística y machine learning. Es la clásica "campana de Gauss" y surge de forma natural como la forma límite de las sumas de variables aleatorias independientes — el Teorema Central del Límite (TCL, tema del próximo capítulo).
Función de Densidad de Probabilidad (PDF): f(x) = (1 / (σ√(2π))) · exp(−(x − μ)² / (2σ²))
Dos parámetros determinan completamente la distribución:
- μ (mu) — la media, controla la ubicación (dónde se asienta la campana en el eje x)
- σ (sigma) — la desviación estándar, controla la escala (qué tan ancha o estrecha es la campana)
Escribimos X ~ N(μ, σ²), usando σ² (varianza) como segundo parámetro por convención.
Propiedades clave:
- Simétrica respecto a μ — la PDF es una imagen espejo izquierda y derecha de μ
- Media = Mediana = Moda = μ — las tres coinciden en el centro
- Las colas se extienden a ±∞ — pero decaen exponencialmente rápido, por lo que los valores extremos son muy poco probables
- Cerrada bajo convolución: si X ~ N(μ₁, σ₁²) e Y ~ N(μ₂, σ₂²) son independientes, entonces X + Y ~ N(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²) — las sumas de normales son normales
La regla empírica (68-95-99.7): Dentro de 1σ de μ: ≈ 68.3% de la masa de probabilidad Dentro de 2σ de μ: ≈ 95.4% de la masa de probabilidad Dentro de 3σ de μ: ≈ 99.7% de la masa de probabilidad
Esta regla es la clave intuitiva de cada "barra de error" en la ciencia. Si conoces μ y σ, sabes de inmediato el rango donde caerán casi todas las observaciones.
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scipy.stats.norm(loc=μ, scale=σ) crea un objeto de distribución Normal. La CDF nos dice la probabilidad de estar por debajo de un umbral; restar dos valores CDF da la masa en un intervalo. La regla 68-95-99.7 emerge de la aritmética CDF — sin necesidad de tablas.
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Tres PDFs Normales en una figura. Azul: N(0,1) estándar. Amarillo: N(0,2) — mismo centro pero el doble de ancho y correspondientemente más bajo (el área debe ser 1). Rojo: N(2,1) — mismo ancho que el azul pero desplazado 2 unidades a la derecha. μ traslada, σ dilata. Abre /tmp/normals.png para ver.
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rng.normal(μ, σ, n) extrae n muestras de N(μ, σ²). Con 10 000 extracciones, la media empírica, la desv. estándar y las fracciones ±1/2/3σ convergen ajustadamente a sus valores teóricos — confirmando el modelo Normal numéricamente.
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La regla 68-95-99.7 es simplemente 2·Φ(k) − 1 evaluada en k=1, 2, 3. El famoso '1.96' es el valor z que hace que el resultado sea exactamente 0.95 — el caballo de batalla de los intervalos de confianza del 95% en toda la estadística.
Para N(μ, σ), ¿qué proporción de masa se encuentra dentro de ±2σ de la media?
Distribución Gaussiana — el capítulo de MML que deriva la PDF Normal desde los primeros principios, demuestra el cierre bajo transformación lineal y convolución, y la conecta con la Gaussiana multivariante usada en ML Bayesiano.
- **PDF**: f(x) = (1/σ√(2π))·exp(−(x−μ)²/(2σ²)). **Media = Mediana = Moda = μ**, **Var = σ²**. Simétrica, en forma de campana.
- **Regla 68-95-99.7**: ±1σ contiene el 68%, ±2σ el 95%, ±3σ el 99.7% de la masa de probabilidad. La clave para interpretar las barras de error.
- Las sumas de Normales independientes son Normales (cerradas bajo convolución). El TCL significa que esta distribución surge naturalmente de efectos pequeños acumulados.
La regresión lineal asume residuos Gaussianos; la inicialización de pesos en redes neuronales usa la Normal (o su variante truncada); los priors latentes de VAE son Normales; los priors conjugados de la regresión Bayesiana son Normales.
Si lo quitas: La mitad de las funciones de pérdida en el aprendizaje supervisado pierden su justificación — MSE-como-Gaussiana-NLL se derrumba.