15 · Normal estándar y el Z-score
Resta la media, divide entre σ — toda Normal colapsa a N(0,1). El z-score es el lenguaje universal de '¿cuántas desviaciones estándar de distancia?'
Resta la media, divide entre la desviación estándar y has convertido cualquier VA Normal a la Normal estándar — la misma escala que todo el mundo usa.
Sin esto:
Sin los z-scores, no puedes comparar características medidas en diferentes escalas, consultar probabilidades en una tabla Z ni interpretar reglas de umbral 'a σ de la media'.
La distribución Normal estándar N(0, 1) es la Normal con media 0 y desviación estándar 1. Es la distribución de referencia: toda N(μ, σ²) se puede convertir a ella mediante la transformación z-score.
El z-score: z = (x − μ) / σ
Si X ~ N(μ, σ²), entonces Z = (X − μ) / σ ~ N(0, 1).
El z-score responde: "¿Cuántas desviaciones estándar está x por encima (positivo) o por debajo (negativo) de la media?"
¿Por qué estandarizar?
- Comparabilidad — Una altura de 185 cm y un salario de 4000 € están en escalas incompatibles. Después de z-scoring, ambos están en unidades de desviaciones estándar y se pueden comparar.
- Consulta de probabilidades — Una vez que tienes z, puedes calcular cualquier probabilidad de la CDF Normal estándar, Φ(z) = P(Z ≤ z), sin importar μ y σ.
- Valores críticos — Los umbrales de significancia comunes se traducen a valores z fijos (ver hoja de referencia abajo).
Percentil ↔ z-score:
Φ(z) = P(Z ≤ z) da el percentil de z. A la inversa, Φ⁻¹(p) (la función cuantil, norm.ppf) da el z-score en el percentil p.
El valor crítico más famoso: z = 1.96 corresponde al percentil 97.5, por lo que P(−1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.95 exactamente — la base de los intervalos de confianza del 95%.
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z = (x − μ) / σ = (115 − 100) / 15 = 1.0. Φ(1.0) ≈ 0.8413 — un IQ de 115 está en el percentil 84, lo que significa que supera alrededor del 84% de todos los puntajes. El z-score convierte cualquier medición Normal a una escala universal de 'desviaciones estándar sobre la media'.
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Z-scoring (raw − media) / std produce una columna con media ≈ 0 y desv. estándar ≈ 1. Esto es exactamente lo que hace el StandardScaler de scikit-learn a cada columna de características antes de pasar los datos a modelos basados en descenso de gradiente. No se pierde información — es un reescalado lineal.
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norm.ppf(p) es la CDF inversa — responde '¿qué z-score pone p de la masa por debajo de él?' ppf(0.975) = 1.9600 es el valor crítico para intervalos de confianza bilaterales del 95%. ppf(0.995) = 2.5758 es la z para CI del 99%. Estas son constantes que verás en toda la estadística inferencial.
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Memoriza los tres grandes: z=1.645 (90% unilateral), z=1.960 (95% bilateral), z=2.576 (99% bilateral). Estos cuatro números sustentan prácticamente todos los intervalos de confianza frecuentistas en investigación publicada.
¿Cuál es el z-score de un valor 2.5 desviaciones estándar por encima de la media?
- **z-score**: z = (x − μ) / σ. Si X ~ N(μ, σ²) entonces Z ~ N(0,1). El z-score es el número de desviaciones estándar que x está por encima (z > 0) o por debajo (z < 0) de la media.
- Valores críticos: z=1.645 (90%), z=1.960 (95%), z=2.576 (99%). Estos sustentan todos los intervalos de confianza frecuentistas.
- StandardScaler = z-scoring. La normalización de características antes del descenso de gradiente es la estandarización z-score aplicada columna por columna.
La normalización de características (StandardScaler) es z-scoring. La normalización por lotes es z-scoring dinámico por mini-lote. Los valores p y los intervalos de confianza acaban en consultas de z-score.
Si lo quitas: Los modelos con características de escalas mixtas entrenan mal — el descenso de gradiente zigzaguea a lo largo de ejes mal condicionados.