Rotaciones

Una rotación es una transformación lineal que preserva longitudes, ángulos y orientación. En $\mathbb{R}^2$, la rotación por un ángulo $\theta$ en sentido antihorario es la matriz $R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$. Sus columnas son vectores unitarios separados 90°; cumple $R^\top R = I$ y $\det R = +1$ (el $+1$ es lo que distingue a las rotaciones de las reflexiones, que tienen $\det = -1$).

Las rotaciones en $\mathbb{R}^2$ forman un grupo bajo composición: $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$, las rotaciones conmutan, y cada rotación tiene inversa $R_\theta^{-1} = R_{-\theta} = R_\theta^\top$. Esta hermosa estructura se llama $SO(2)$, el grupo ortogonal especial en 2 dimensiones.

En 3D las rotaciones se especifican con un eje y un ángulo. Las rotaciones elementales en torno a los ejes $x$, $y$, $z$ tienen formas matriciales $3\times 3$ bien conocidas; cualquier rotación se descompone en tres elementales vía ángulos de Euler. A diferencia de 2D, las rotaciones 3D no conmutan — yaw-luego-pitch difiere de pitch-luego-yaw, algo que pilotos e ingenieros de robótica conocen muy bien.

Las rotaciones de mayor dimensión viven en $SO(n)$, el grupo de matrices ortogonales con determinante $+1$. Preservan la distancia euclidiana y la orientación en cualquier número de dimensiones. Un hecho importante: cada rotación se puede escribir como $R = e^{A}$ para alguna matriz antisimétrica $A$ (es decir, $A^\top = -A$). Es el puente entre el grupo de Lie $SO(n)$ y su álgebra de Lie $\mathfrak{so}(n)$, usado en robótica y geometría diferencial.

Ejemplo resuelto — composición de rotaciones: $R_{30°}R_{60°} = R_{90°}$ — las rotaciones se componen *sumando* ángulos. Algebraicamente, $\cos(30° + 60°) = \cos 30° \cos 60° - \sin 30° \sin 60°$, la conocida identidad trigonométrica que emerge naturalmente de la multiplicación matricial.

Las rotaciones importan en ML más allá de los gráficos. En PCA, una rotación de los datos alinea los ejes con las direcciones de máxima varianza. En normalizing flows, cada transformación invertible suele ser una composición de rotaciones y escalados. El Rotary Position Embedding (RoPE) en transformers modernos codifica posiciones rotando los vectores de consulta/clave en un espacio de alta dimensión — una forma matemáticamente elegante de inyectar la posición en la secuencia que preserva los productos internos salvo fase. Conocer tus rotaciones es sorprendentemente práctico.