Autovalores y Autovectores

Un autovector de una matrizⓘ cuadrada $A$ es un Vectorⓘ no nulo $\mathbf{v}$ que $A$ estira sin rotar: $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ para algún escalar $\lambda$, el autovalor correspondiente. Los autovectores son las *direcciones invariantes* del mapa: cualquier otro vector se dobla bajo $A$, pero estos están sobre ejes que $A$ apenas escala.

Para hallarlos algebraicamente, reescribe $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ como $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Para que exista una $\mathbf{v}$ no trivial, $A - \lambda I$ debe ser singular, es decir, su determinanteⓘ es cero: $\det(A - \lambda I) = 0$. Esta ecuación en $\lambda$ es el polinomio característico — un polinomio de grado $n$ cuyas raíces son los autovalores. Para cada raíz $\lambda$, los autovectores correspondientes generan el autoespacio $\ker(A - \lambda I)$.

Los autovalores pueden ser reales o complejos, distintos o repetidos. Una matriz de rotación $2\times 2$ tiene autovalores complejos $e^{\pm i\theta}$ — no tiene dirección invariante real más allá del origen. Una matriz diagonalizable tiene $n$ autovectores linealmente independientes que forman una base; en esa base, $A$ actúa como puro escalado. Una matriz defectuosa (como $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$) tiene menos autovectores independientes que su tamaño — no puede diagonalizarse del todo y necesita la forma de Jordan.

Las matrices reales simétricas disfrutan de una garantía notable llamada teorema espectral: todos los autovalores son reales, los autovectores de autoespacios distintos son ortogonales y la matriz puede diagonalizarse mediante una base ortonormal: $A = QDQ^\top$ con $Q$ ortogonal y $D$ diagonal. Es la factorización más limpia posible, y por eso las matrices de covarianza, los Hessianos y los Laplacianos son objetos tan tratables.

Los autovalores desbloquean enormes partes del ML. PCA extrae los autovectores principales de la matriz de covarianza como direcciones principales. Spectral clustering usa autovectores del Laplaciano del grafo. PageRank de Google es el autovector dominante de una matriz estocástica. Incluso la estabilidad de un sistema dinámico de redes neuronales depende de si los autovalores del Jacobiano están dentro del disco unitario.