Descomposición en Valores Singulares (SVD)

La descomposición en valores singulares (SVD) factoriza *cualquier* matrizⓘ $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ como $A = U\Sigma V^\top$, donde $U \in \mathbb{R}^{m\times m}$ y $V \in \mathbb{R}^{n\times n}$ son ortogonalesⓘ y $\Sigma$ es una matriz diagonal (rectangular) con entradas no negativas $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \dots \geq 0$ llamadas valores singularesⓘ. A diferencia de la descomposición espectral, la SVD se aplica a matrices rectangulares y singulares — no hay condición de 'diagonalizabilidad' que cumplir.

Geométricamente, todo mapa lineal se factoriza como rotar, escalar, rotar. $V^\top$ rota el espacio de entrada para alinearlo con los ejes principales de los datos, $\Sigma$ estira cada eje de forma independiente (posiblemente aplastando algunos a cero) y $U$ rota al espacio de salida. Esta descomposición explica por qué la SVD es tan potente: revela la acción geométrica intrínseca de cualquier matriz.

Cuidado: *No* confundas valores singulares con autovalores. Los valores singulares siempre son reales y no negativos; los autovalores de una matriz real no simétrica pueden ser complejos. Para una matriz simétrica semidefinida positiva coinciden, pero en general $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i(A^\top A)}$, *no* $\lambda_i(A)$. Mezclarlos es uno de los errores más comunes en álgebra lineal numérica.

Los valores singulares se relacionan con los autovalores: los $\sigma_i$ son las raíces cuadradas de los autovalores de $A^\top A$ (o de $AA^\top$). Las columnas de $V$ son los autovectores correspondientes de $A^\top A$ (vectores singulares derechos); las columnas de $U$ son los autovectores de $AA^\top$ (vectores singulares izquierdos). Para matrices simétricas, SVD y descomposición espectral coinciden salvo signo.

Muchos diagnósticos matriciales se leen directamente de los valores singulares. El rango de $A$ es el número de valores singulares no nulos. El número de condición $\kappa(A) = \sigma_1 / \sigma_r$ mide la sensibilidad numérica — un número de condición grande significa que pequeños errores de entrada explotan. La norma espectral es $\sigma_1$, y la norma de Frobenius es $\sqrt{\sum \sigma_i^2}$.

Ejemplo resuelto — SVD de una matriz 2×2: Para $A = \begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$ (ya diagonal, positiva), la SVD es trivial: $U = I$, $\Sigma = \begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$, $V = I$. Valores singulares $\{3, 2\}$; tanto $U$ como $V$ son la identidad. Cualquier matriz diagonal con entradas no negativas es su propia SVD.

Ejemplo resuelto — valores singulares de una matriz rectangular: Para $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}$ (2×3), calcula $AA^\top = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 4\end{pmatrix}$. Sus autovalores son 1 y 4. Los valores singulares son entonces $\sigma_1 = 2, \sigma_2 = 1$. Rango = 2 (dos valores singulares no nulos), coincidiendo con que $A$ tiene rango de filas completo.

La SVD es la herramienta universal de ML. La pseudo-inversa de Moore–Penrose es $A^+ = V\Sigma^+ U^\top$ — la mejor inversa posible para matrices rectangulares/singulares, usada en regresión por mínimos cuadrados. PCA sobre una matriz de datos $X$ es literalmente la SVD de $X$ (centrada). Análisis Semántico Latente, sistemas de recomendación, compresión de modelos y adaptación de bajo rango se reducen a truncar la SVD para conservar solo los valores singulares más grandes.