Cambio de Variables

Dada una variable aleatoria $X$ con densidad $p_X$, ¿cuál es la densidad de $Y = f(X)$? La respuesta es la fórmula del cambio de variables: para una $f$ suave e invertible, $p_Y(y) = p_X(f^{-1}(y)) \left| \frac{df^{-1}}{dy} \right|$. El factor del jacobiano corrige cómo $f$ estira o comprime la densidad — las concentraciones de probabilidad se mueven con el estiramiento inverso.

En dimensiones más altas, esto se vuelve $p_Y(\mathbf{y}) = p_X(f^{-1}(\mathbf{y})) \left| \det J_{f^{-1}}(\mathbf{y}) \right|$, donde $J_{f^{-1}}$ es la matriz jacobiana de la inversa. Equivalentemente, usando el jacobiano hacia adelante: $p_Y(\mathbf{y}) = p_X(\mathbf{x}) / |\det J_f(\mathbf{x})|$ con $\mathbf{x} = f^{-1}(\mathbf{y})$. Cualquiera de las formas dice: el escalado de volumen de $f$ debe corregirse para que la probabilidad total siga siendo 1.

La fórmula requiere que $f$ sea una biyección (uno a uno y sobreyectiva en el dominio relevante) y suave lo suficiente para que su jacobiano exista. Si $f$ no es invertible — piensa en $Y = X^2$ con $X \in \mathbb{R}$ — sumas las contribuciones de todas las preimágenes. Si $f$ colapsa dimensiones (p. ej., una transformación deficiente en rango), no puedes recuperar una densidad sobre $Y$; en cambio, $Y$ vive en una variedad de dimensión menor.

El cambio de variables aparece por todo el ML probabilístico. Derivar la distribución de una suma, cociente o transformación de variables conocidas (p. ej., $Y = e^X$ con $X$ gaussiana da una log-normal). Convertir entre parámetros de escala (al modelar $\sigma$ vs $\log \sigma$ o $\tau = 1/\sigma^2$). Cada vez que sustituimos una parametrización, el jacobiano mantiene las probabilidades honestas.

La aplicación estrella son los normalizing flows: apilar una secuencia de transformaciones invertibles $f_1, f_2, \dots, f_K$ para mapear una distribución base simple (gaussiana estándar) a un objetivo complejo. Cada capa aporta un término log-det-jacobiano y la log-verosimilitud del objetivo se vuelve $\log p_X(\mathbf{x}) = \log p_Z(f^{-1}(\mathbf{x})) + \sum_k \log|\det J_{f_k^{-1}}|$. Los flows son el uso más claro del cambio de variables hoy — la invertibilidad y los jacobianos tratables son toda la restricción de diseño.

Ejemplo trabajado — log-normal a partir de gaussiana: Si $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ y $Y = e^X$, entonces $X = \ln Y$ con $dx/dy = 1/y$, así $p_Y(y) = \frac{1}{y\sqrt{2\pi}}\exp(-(\ln y)^2/2)$ para $y > 0$. El factor del jacobiano $1/y$ es esencial — omitirlo daría una densidad no normalizable. Por eso los normalizing flows rastrean cada término $\log|{\det J}|$.