Base y Rango

Una base de un espacio vectorial $V$ es un conjunto de vectores que es a la vez linealmente independiente y generador — todo vector en $V$ se puede escribir como combinación lineal única de los elementos de la base. Toda base de un espacio finito-dimensional dado tiene el mismo número de vectores, y ese número es la dimensión del espacio. Es notable: la dimensión no depende de la base que elijas, solo del espacio mismo.

La base más familiar de $\mathbb{R}^n$ es la base estándar $\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n\}$, donde $\mathbf{e}_i$ tiene un 1 en la posición $i$ y ceros en el resto. Pero existen infinitas bases más. Por ejemplo, $\{(1,1), (1,-1)\}$ es una base perfectamente válida de $\mathbb{R}^2$. Elegir una base *distinta* puede simplificar dramáticamente un problema — esa es la motivación detrás de la descomposición espectral y de PCA.

Las coordenadas de un vector $\mathbf{v}$ en una base $B = \{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}$ son los escalares únicos $c_1, \dots, c_n$ que satisfacen $\mathbf{v} = \sum c_i \mathbf{b}_i$. El mismo vector geométrico tiene distintas representaciones de coordenadas en distintas bases — un detalle fácil de olvidar pero crucial para transformaciones como las matrices de cambio de base.

El rango de una matriz $A$ es la dimensión de su espacio columna — equivalentemente, el número de columnas linealmente independientes, el número de pivotes en su forma escalonada o (una identidad hermosa) la dimensión de su espacio fila. Un hecho clave: $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^\top)$, es decir, el rango fila es igual al rango columna. Esta identidad tiene consecuencias reales: para una matriz alta $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ con $m > n$, el rango es a lo sumo $n$, porque solo hay $n$ columnas para ser independientes.

Ejemplo resuelto — calcular rango por eliminación: Para $A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\2 & 4 & 7\\3 & 6 & 10\end{pmatrix}$: R2 ← R2 − 2R1 da $(0, 0, 1)$; R3 ← R3 − 3R1 da $(0, 0, 1)$; R3 ← R3 − R2 da $(0, 0, 0)$. Quedan dos filas no nulas → rango = 2. La tercera columna *no* está en el patrón de dependencia lineal del span de las dos primeras, así que el rango es 2 en lugar de 1.

Ejemplo resuelto — coordenadas en una base no estándar: En la base $B = \{(1,1), (1,-1)\}$, halla las coordenadas de $\mathbf{v} = (4, 2)$. Resuelve $c_1(1,1) + c_2(1,-1) = (4,2)$: $c_1 + c_2 = 4$, $c_1 - c_2 = 2$. Sumando: $2c_1 = 6 \Rightarrow c_1 = 3$, luego $c_2 = 1$. Así $[\mathbf{v}]_B = (3, 1)$ — el mismo vector geométrico tiene distintas coordenadas en distintas bases.

El rango es el diagnóstico central en muchos pipelines de ML. Una matriz de diseño de rango completo permite que los mínimos cuadrados ordinarios den una solución única. Una matriz de pesos de rango bajo en una red neuronal entrenada suele ser señal de que el modelo ha comprimido la información en menos dimensiones efectivas — la base de técnicas modernas como LoRA (Low-Rank Adaptation), que adapta modelos grandes añadiendo una pequeña actualización de rango bajo en lugar de reentrenar todos los parámetros.