Espacios Afines

Un espacio afín es, a grandes rasgos, un espacio vectorial que ha olvidado dónde está su origen. Formalmente, un subespacio afín de un espacio vectorial $V$ es un conjunto de la forma $\mathbf{x}_0 + U = \{\mathbf{x}_0 + \mathbf{u} : \mathbf{u} \in U\}$, donde $\mathbf{x}_0$ es un punto cualquiera y $U$ es un subespacio lineal. Cuando $\mathbf{x}_0 = \mathbf{0}$, el subespacio afín coincide con $U$; en otro caso es un trasladado de $U$ que no necesariamente pasa por el origen.

Ejemplos familiares: una recta en $\mathbb{R}^2$ que no pasa por el origen es un subespacio afín de dimensión 1; un plano en $\mathbb{R}^3$ desplazado del origen es un subespacio afín de dimensión 2. En general, el conjunto solución de un sistema lineal consistente (no homogéneo) $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ es un subespacio afín: una solución particular $\mathbf{x}_p$ más el espacio nulo de $A$.

Las aplicaciones afines son las transformaciones naturales entre espacios afines. Tienen la forma $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{t}$, combinando una aplicación lineal $A$ con una traslación $\mathbf{t}$. A diferencia de las aplicaciones lineales puras, las afines no necesitan fijar el origen — pueden trasladar todo el espacio. Las aplicaciones afines preservan rectas, paralelismo y razones de distancias a lo largo de una recta, pero no ángulos ni distancias absolutas.

Un truco que aparece por toda la computación gráfica y el ML: podemos incrustar una aplicación afín como una aplicación lineal en una dimensión más. Añade un 1 a cada vector ($\mathbf{x} \mapsto (\mathbf{x}, 1)$) y usa una matriz por bloques $\begin{pmatrix} A & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{pmatrix}$ para capturar toda la aplicación afín como una multiplicación matriz-vector ordinaria. Es el mismo truco de coordenadas homogéneas que usan los pipelines de transformación de OpenGL.

Las ideas afines atraviesan el ML más de lo que parece. La regresión lineal clásica con sesgo es un modelo afín: $\hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b$ es lineal en $\mathbf{w}$ y $b$, pero no lineal en $\mathbf{x}$ por sí solo (por el $+b$). La mayoría de las capas de redes neuronales son afín-seguido-de-no-lineal: $\mathbf{h} = \sigma(W\mathbf{x} + \mathbf{b})$. Las máquinas de soporte vectorial trazan fronteras de decisión que son hiperplanos afines — conjuntos solución de $\mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b = 0$. Entender los subespacios afines es, por tanto, el lenguaje correcto para la mitad del modelado moderno.