Productos Internos

Un producto interno $\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{R}$ es una función que recibe dos vectores y devuelve un escalar, satisfaciendo tres propiedades: simetría ($\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle$), linealidad en cada argumento y definida positiva ($\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \geq 0$, con igualdad si y solo si $\mathbf{v} = \mathbf{0}$). El ejemplo más familiar es el producto punto: $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \mathbf{u}^\top \mathbf{v} = \sum_i u_i v_i$.

Todo producto interno induce una norma vía $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle}$. En $\mathbb{R}^n$ con el producto punto estándar, esto da la conocida norma euclidiana. Pero también podemos construir productos internos *ponderados*: $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle_A = \mathbf{u}^\top A \mathbf{v}$ para cualquier matriz $A$ simétrica definida positiva. Distintas $A$ producen distintas geometrías sobre el mismo espacio vectorial.

Una consecuencia profunda de los axiomas es la desigualdad de Cauchy–Schwarz: $|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|$, con igualdad si y solo si los dos vectores son paralelos. Esta única desigualdad sostiene incontables demostraciones — la desigualdad triangular sale de ella, igual que la definición del ángulo entre vectores.

Los productos internos van mucho más allá de $\mathbb{R}^n$. Sobre el espacio de funciones continuas en $[a, b]$, la integral $\langle f, g\rangle = \int_a^b f(x) g(x) \, dx$ es un producto interno. Es la base del análisis de Fourier: las funciones seno y coseno son *ortogonales* bajo este producto, así que expresar una señal como suma de ellas es el análogo de expresar un vector en una base ortogonal.

Ejemplo trabajado — producto punto: $\langle (1, 2, 3), (4, -1, 2) \rangle = 1\cdot 4 + 2\cdot(-1) + 3\cdot 2 = 4 - 2 + 6 = 8$. Positivo, así que los vectores apuntan en una dirección parecida (ángulo < 90°).

Ejemplo trabajado — verificando bilinealidad: Toma $\mathbf{u} = (1, 0)$, $\mathbf{v} = (0, 1)$, $\mathbf{w} = (1, 1)$. Verifica $\langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle(1,1), (1,1)\rangle = 1 + 1 = 2$, y $\langle \mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = (1 + 0) + (0 + 1) = 2$ ✓. El producto interno distribuye sobre la suma.

En ML los productos internos son el átomo de la similitud. La similitud coseno $\frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$ mide cuán alineados están dos vectores sin importar su magnitud — central en embeddings de palabras y retrieval. Los métodos kernel (como el truco del kernel en SVMs) reemplazan el producto punto estándar por $\kappa(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \langle \phi(\mathbf{u}), \phi(\mathbf{v})\rangle$, donde $\phi$ mapea implícitamente los datos a un espacio de características de mayor dimensión, sin calcular $\phi$ directamente.