Longitudes y Distancias

Una vez tenemos una norma, automáticamente obtenemos una distancia entre dos puntos cualesquiera: $d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|$. La distancia hereda todo el buen comportamiento de la norma — no negatividad, simetría, desigualdad triangular — así que todo espacio normado es también un espacio métrico. Y como todo producto interno induce una norma, todo espacio con producto interno trae automáticamente una noción de distancia.

La distancia euclidiana $d_2(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sqrt{\sum_i (u_i - v_i)^2}$ es el valor por defecto en la mayoría de los contextos de ML — es la distancia que medirías con una regla. La distancia Manhattan $d_1$, la distancia de Chebyshev $d_\infty$ y la distancia de Mahalanobis $d_M(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sqrt{(\mathbf{u} - \mathbf{v})^\top \Sigma^{-1} (\mathbf{u} - \mathbf{v})}$ (que reescala según una matriz de covarianzas) son alternativas comunes adaptadas a distintas geometrías de los datos.

Una identidad clásica conecta la distancia con el producto interno: $\|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 - 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + \|\mathbf{v}\|^2$. Es la ley de cosenos en forma vectorial, y así funcionan por debajo la mayoría de las conversiones similitud↔distancia. También explica por qué la distancia euclidiana al cuadrado se prefiere muchas veces a nivel computacional: evita la raíz cuadrada y preserva el orden.

El problema del punto más cercano — dada una consulta, encontrar el punto de entrenamiento más cercano — es el corazón de la clasificación con $k$ vecinos más cercanos, de la generación aumentada por recuperación y del clustering. La *elección de la distancia* cambia la respuesta. Para imágenes podrías querer distancia coseno sobre embeddings; para series de tiempo, dynamic time warping; para distribuciones, la distancia de Wasserstein. Acertar con la métrica es la mitad de la batalla.

Dos trampas sutiles. Primero, en dimensiones muy altas la mayoría de los pares de puntos aleatorios están aproximadamente equidistantes — la llamada concentración de distancias — así que la distancia euclidiana ingenua pierde poder discriminativo. Segundo, los rasgos crudos con escalas distintas (edad en años, ingreso en dólares) quedarán dominados por la mayor escala. Por eso la estandarización (restar la media, dividir por la desviación estándar) o usar la métrica de Mahalanobis es esencial antes de medir distancias en datos reales.