Ángulos y Ortogonalidad

A partir de un producto interno podemos extraer el ángulo entre dos vectores no nulos vía $\cos\theta = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle}{\|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|}$. Cauchy–Schwarz garantiza que esta razón cae en $[-1, 1]$, así que $\theta \in [0, \pi]$ está bien definido. Cuando $\theta = 0$ los vectores son paralelos y apuntan en la misma dirección; cuando $\theta = \pi$ son antiparalelos; cuando $\theta = \pi/2$ son ortogonales.

Dos vectores son ortogonales, escrito $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$, exactamente cuando $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 0$. La ortogonalidad es el análogo vectorial de 'independiente' o 'no relacionado' — las direcciones ortogonales aportan información limpiamente separada. Geométricamente, dos vectores ortogonales se encuentran en ángulo recto, pero algebraicamente la ortogonalidad se extiende a cualquier espacio con producto interno, incluidos los espacios de funciones.

El teorema de Pitágoras se generaliza a cualquier espacio con producto interno: si $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$, entonces $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2$. No es una coincidencia — el teorema de Pitágoras *es* lo que obtienes al expandir la norma al cuadrado y usar la ortogonalidad para anular el término cruzado. Toda 'descomposición de la varianza' en estadística es Pitágoras disfrazado.

Una matriz $Q$ es ortogonal si $Q^\top Q = I$, es decir, sus columnas forman un conjunto ortonormal (longitud unidad, perpendiculares entre sí). Las matrices ortogonales preservan los productos internos: $\langle Q\mathbf{u}, Q\mathbf{v}\rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$. En consecuencia preservan longitudes y ángulos — son exactamente los movimientos rígidos del espacio: rotaciones y reflexiones. Las transformaciones ortogonales son las aplicaciones lineales mejor portadas, numéricamente estables y conservadoras de información.

Ejemplo resuelto — ángulo de 45°: Para $\mathbf{u} = (1, 0)$ y $\mathbf{v} = (1, 1)$: $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 1$, $\|\mathbf{u}\| = 1$, $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{2}$. Entonces $\cos\theta = 1/\sqrt{2} \approx 0.707$, dando $\theta = 45°$ (o $\pi/4$). Geométricamente $(1,1)$ biseca el primer cuadrante.

Ejemplo resuelto — ortogonalidad: $\mathbf{u} = (3, 4)$ y $\mathbf{v} = (-4, 3)$: $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 3\cdot(-4) + 4\cdot 3 = -12 + 12 = 0$. Ortogonales, separados 90°. En general, para cualquier $(a,b)$, el vector $(-b, a)$ es perpendicular — un truco útil en 2D.

Los ángulos están por todas partes en ML. La similitud coseno $\cos\theta$ es la métrica de retrieval por excelencia porque ignora la magnitud del vector. Las puntuaciones de atención en transformers calculan $\mathbf{q}^\top \mathbf{k} / \sqrt{d}$ — un producto punto escalado, esencialmente un coseno sin normalizar. La inicialización ortogonal de los pesos en RNNs evita la explosión de gradientes manteniendo estables las magnitudes de la señal. El concepto de ángulo, antes abstracto, es la columna vertebral del aprendizaje de representaciones moderno.