Base Ortonormal

Un conjunto de vectores $\{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}$ es ortonormal si cada uno tiene longitud unidad ($\|\mathbf{b}_i\| = 1$) y dos cualesquiera son ortogonales ($\langle \mathbf{b}_i, \mathbf{b}_j\rangle = 0$ para $i \neq j$). De forma compacta, $\langle \mathbf{b}_i, \mathbf{b}_j\rangle = \delta_{ij}$ (la delta de Kronecker). Una base ortonormal es una base que resulta ser ortonormal — el mejor sistema de coordenadas posible.

¿Por qué 'el mejor posible'? Las coordenadas en una base ortonormal se calculan trivialmente: $c_i = \langle \mathbf{v}, \mathbf{b}_i\rangle$. No hace falta invertir matrices, solo productos punto. Además, las longitudes y los productos internos lucen exactamente como en la base estándar: $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \sum_i u_i v_i$ cuando ambos se expresan en una BON. La ortonormalidad preserva la geometría euclidiana.

El proceso de Gram–Schmidt construye una base ortonormal a partir de cualquier base. Dado $\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}$: define $\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1$, luego resta iterativamente las proyecciones sobre los $\mathbf{u}_i$ anteriores: $\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{i<k} \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_i\rangle}{\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_i\rangle} \mathbf{u}_i$. Finalmente normaliza cada $\mathbf{u}_k$ a longitud unidad. El procedimiento construye la descomposición QR $A = QR$ usada por muchos solvers.

Numéricamente, el Gram–Schmidt clásico acumula error de redondeo de mala manera. El Gram–Schmidt modificado lo reduce reproyectando cada vector contra el conjunto ya ortonormalizado en vez de los originales. Para mayor estabilidad, las reflexiones de Householder o las rotaciones de Givens calculan QR sin formar nunca explícitamente los vectores intermedios de Gram-Schmidt — esto es lo que hace numpy.linalg.qr.

Las bases ortonormales aparecen constantemente en ML. La Transformada Discreta de Fourier usa una BON de senoides complejas. Las bases wavelet proveen BON multi-resolución de funciones. PCA halla una BON de direcciones adaptadas a los datos, y las matrices ortogonales aleatorias se usan para inicialización y reducción de dimensionalidad de baja distorsión vía el lema de Johnson–Lindenstrauss. Cuando veas una base ortonormal, espera matemáticas limpias y cómputo estable.