Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ahora que tenemos matrices, podemos formalizar cómo *resolver* $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. El algoritmo canónico es la eliminación gaussiana. La idea: aplicar una sucesión de operaciones elementales de fila para reducir $A$ (aumentada con $\mathbf{b}$) a una forma triangular superior llamada forma escalonada por filas, y después sustituir hacia atrás. Las tres operaciones permitidas son intercambiar dos filas, escalar una fila por una constante no nula, y sumar un múltiplo de una fila a otra.

Un objetivo más fuerte es la forma escalonada reducida (RREF): cada pivote es 1, y cada columna de pivote tiene ceros en el resto. De la RREF se puede leer directamente la solución (o la familia paramétrica de soluciones). Como las operaciones de fila corresponden a multiplicar por matrices elementales invertibles, no cambian el conjunto de soluciones — solo lo hacen más fácil de leer.

Las variables que corresponden a columnas de pivote son las variables básicas; las demás son variables libres. Cuando toda columna tiene un pivote, la solución es única. Cuando algunas columnas no tienen pivote, cada variable libre aporta una dimensión extra al conjunto de soluciones. Cuando la columna aumentada tiene un pivote pero la columna de coeficientes no (una fila como $[0 \, 0 \, \dots \, 0 \,|\, 1]$), el sistema es inconsistente y no tiene solución.

La solución general de un sistema consistente es $\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h$, donde $\mathbf{x}_p$ es cualquier solución *particular* de $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ y $\mathbf{x}_h$ es cualquier solución del sistema *homogéneo* $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$. Las soluciones homogéneas forman un espacio vectorial — el espacio nulo de $A$ — cuya dimensión es igual al número de variables libres. Esta visión estructural es central para temas posteriores como rango y aplicaciones lineales.

Ejemplo resuelto — eliminación gaussiana sobre un sistema 3×3: Resuelve $x + y + z = 6$, $2x - y + z = 3$, $x + 2y - z = 2$. Escribe la matriz aumentada $\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ 1 & 2 & -1 & | & 2\end{smallmatrix}\right]$. R2 ← R2 − 2R1 da la fila $(0, -3, -1\,|\,-9)$. R3 ← R3 − R1 da $(0, 1, -2\,|\,-4)$. R3 ← R3 + R2/3 da $(0, 0, -7/3\,|\,-7)$, así que $z = 3$. Sustituyendo hacia atrás: $-3y - 3 = -9 \Rightarrow y = 2$, luego $x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1$. Solución $(1, 2, 3)$ ✓.

Ejemplo resuelto — sistema inconsistente detectado: Considera $\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & | & 2 \\ 2 & 2 & | & 5\end{smallmatrix}\right]$. R2 ← R2 − 2R1 da $(0, 0 \,|\, 1)$ — una fila que dice $0 = 1$, lo cual es imposible. El sistema no tiene solución. Ver una fila de ceros a la izquierda con un valor no nulo a la derecha es la huella algebraica de la inconsistencia.

En la práctica, el código moderno de ML usa variantes numéricamente estables de la eliminación gaussiana: la descomposición LU (factoriza $A = LU$ en matrices triangular inferior y superior) y la descomposición QR (factoriza $A = QR$ en ortogonal y triangular superior). El enfoque LU es la base de la mayoría de los solucionadores directos densos; QR es más robusto para problemas de mínimos cuadrados. Por debajo, numpy.linalg.solve y torch.linalg.solve hacen exactamente esto.