Espacios Vectoriales

Hasta ahora hemos trabajado con vectores concretos en $\mathbb{R}^n$. El verdadero poder del álgebra lineal, sin embargo, viene de abstraer: un espacio vectorial sobre los reales es cualquier conjunto $V$ equipado con una suma y una multiplicación escalar que cumplen ocho axiomas familiares (asociatividad, conmutatividad de la suma, existencia de un vector cero, existencia de inversos aditivos, compatibilidad de la multiplicación escalar, dos leyes distributivas, y la identidad $1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}$).

Esta abstracción no es retórica académica. Una vez que un conjunto cumple los axiomas, *todo teorema del álgebra lineal aplica automáticamente*. El espacio de polinomios de grado ≤ $n$, el espacio de matrices $m \times n$, el espacio de funciones continuas en $[0, 1]$ — todos son espacios vectoriales, y conceptos como combinaciones lineales, independencia y bases se transfieren al por mayor.

Un subespacio $U \subseteq V$ es un subconjunto que es a su vez un espacio vectorial bajo las operaciones heredadas. Concretamente, $U$ debe contener al vector cero y ser cerrado bajo suma y multiplicación escalar: para cualesquiera $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \in U$ y cualquier escalar $\lambda$, tanto $\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2$ como $\lambda \mathbf{u}_1$ deben seguir estando en $U$. Una recta por el origen en $\mathbb{R}^2$ es un subespacio; una recta que no pasa por el origen, no.

Dos subespacios asociados a toda matriz $A$ son piedras angulares en ML. El espacio columna (o *imagen*) es el span de las columnas de $A$ — exactamente el conjunto de $\mathbf{b}$ para los que $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ tiene solución. El espacio nulo (o *kernel*) es el conjunto de $\mathbf{x}$ con $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ — las direcciones en el espacio de entrada que $A$ aplasta a cero. El teorema fundamental del álgebra lineal relaciona sus dimensiones: el teorema de rango-nulidad dice que para $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$, $\dim(\text{col}(A)) + \dim(\text{null}(A)) = n$.

Ejemplo resuelto — NO es un subespacio: El conjunto $W = \{(x, y) : x \geq 0\}$ es el semiplano derecho. Contiene $(0,0)$ ✓, y sumas de vectores con $x$ no negativo siguen siendo no negativas ✓, PERO $\lambda = -1$ por $(1, 0)$ da $(-1, 0) \notin W$. No es cerrado bajo multiplicación escalar, así que no es un subespacio — solo es cerrado bajo escalares no negativos.

¿Por qué le importan los subespacios a alguien que hace machine learning? Porque las características viven en ellos. Cuando PCA reduce un dataset a sus top $k$ direcciones, lo proyecta a un subespacio $k$-dimensional. Cuando los pesos de una capa oculta de una red neuronal son deficientes en rango, ciertas direcciones de entrada se colapsan y quedan invisibles para el resto de la red. Entender los subespacios es la clave para diagnosticar la capacidad representacional.